Sfide Mat(t)ematiche #01 – Il mattone di Diofanto

Ma ora che abbiamo tutte queste belle TPP (vedi Sfide Matte-matiche #00) cosa ce ne facciamo ? Mi sembra ovvio, mettiamoci a costruire una casa con un bel po’ di mattoni di Diofanto. No, Diofanto non è un materiale particolare e tantomeno una imprecazione a seguito di una badilata sui denti. Diofanto fu un antico matematico (https://it.wikipedia.org/wiki/Diofanto_di_Alessandria ) il cui nome viene usato anche per identificare le equazioni da risolversi per numeri interi (equazioni diofantine o diofantee appunto).

Il mattone di Diofanto

 

Il mattone di Diofanto altro non è che un parallelepipedo in cui tutti gli spigoli e le diagonali esterne (cioè le diagonali delle facciat

e) siano numeri interi. Già è stato dimostrato che ve ne sono infiniti di questi parallelepipedi come ed è già stato dimostrato (non senza difficoltà) che non esistono parallelepipedi diofantei in cui anche la diagonale interna (quella che attraversa

Mattone con tre facce “appianate” e con le diagonali esterne in evidenza

 tutto il parallelepiedo) sia intera.
Ora se ogni faccia del parallelepipedo ha i lati interi e anche la diagonale intera vuol dire che siamo in presenza sicuramente di una terna pitagorica costituita da due spigoli adiacenti e dalla diagonale della faccia. Avendo il parallelepipedo 6 facce uguali 2 a 2, possiamo identificare il mattone diofanteo tramite 3 terne pitagoriche (una per ogni faccia distinta) aventi tra di loro delle relazioni ben precise.
Ad esempio chiamando A,B,C i tre spigoli del nostro mattone e D, E, F le tre diagonali esterne dello stesso possiamo tranquillamente scrivere le equivalenze date dalle tre triplette (ABD-BCE-ACF, vedere le figure per maggiore chiarezza): 

A^2+B^2=D^2
B^2+C^2=E^2
A^2+C^2=F^2

Il mattone con gli spigoli evidenziati

e quindi dopo qualche semplice passaggio si può arrivare alla seguente relazione:

2*(A^2+B^2+C^2)=D^2+E^2+F^2

Da cui si può dedurre per esempio che in un mattone diofanteo la somma dei quadrati delle diagonali sarà sempre un numero pari.

Altra deduzione che si può fare è che le tre triplette saranno sempre differenti le une dalle altre, in quanto supponendo che potesse esistere un mattone che abbia A=C (e quindi D=E) avremmo che:
A^2+C^2=F^2 , ma siccome A=C allora possiamo scrivere C^2+C^2=F^2 quindi 2C^2=F^2 => F=CRadice(2), ma sapendo che F e C devono essere numeri interi l’equivalenza non può sussistere in quanto Radice(2) è un numero irrazionale. Ma questi sono solo alcune delle deduzioni o relazioni che si possono trovare. Interessante sarebbe capire se esistono dei mattoni diofantei con tutte e tre le triplette primitive. Ma questa non è la sfida che voglio mettere sul tavolo (o anche si?!).

La sfida

Quello che vorrei proporre è la creazione di un programma in grado di calcolare 10 mattoni Diofantei. Questa volta non voglio imporre nessun tipo di enumerazione, potete sbizzarrirvi come volete, l’importante è che i 10 mattoni calcolati abbiano:

  • gli spigoli A,B,C e le diagonali esterne D, E, F esprimibili come numeri interi;
  • le terne A-B-D, B-C-E, A-C-F possono essere sia terne primitive che terne derivate MA il parallelepipedo ottenuto dovrà, per così dire essere un parallelepipedo diofanteo primitivo, cioè non può essere il risultato della “scalatura” di un mattoncino più piccolo le cui misure venissero moltiplicate per una costante.

Vi riporto un paio di esempi presi a caso con lo sviluppo della ricerca delle tre terne per comporre il parallelepipedo, le prime tre colonne mostrano i valori delle terne utilizzate per formare la “faccia” del parallelepipedo (in Rosso gli spigoli dello stesso), segue l’indicazione se la terna è primitiva o derivata, quindi il fattore moltiplicativo per ottenere la terna (naturalmente sarà 1 nel caso di terna primitiva), infine le ultime tre colonne mostrano la terna primitiva da cui è stata calcolata la terna nelle prime tre colonne:

    6732     4576     8140 Derivata  44      153      104      185
    4576     1755     4901 Derivata  13      352      135      377
    6732     1755     6957 Derivata   9      748      195      773
-----------------------------------------------------------------------
     792      231      825 Derivata  33       24        7       25
     231      160      281 Primitiva  1      231      160      281
     792      160      808 Derivata   8       99       20      101

Come avrete intuito il tempo di esecuzione ha una sua importanza per capire l’indice di ottimizzazione, ma molto più importanti sono gli algoritmi e soprattutto le relazioni che si riuscirà ad estrapolare in modo tale da ridurre al minimo le ricerche infruttuose.
Un po’ di spiegazioni più formali sul mattone di Diofanto le potrete trovare a questo indirizzo:

http://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html 

… si lo so … qui lo affibbiano ad Eulero …. ma a me sta più simpatico Diofanto!
Con questa sfida vi auguro buone vacanze.

Emanuele

Have your say